Giải bài 3 trang 87 vở thực hành Toán 8 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA’B’C’ ∽ ΔABC

Chứng minh rằng \(\frac{{A}'{M}'}{AM}=\frac{{B}'{N}'}{BN}=\frac{{C}'{P}'}{CP}\).

Lời giải chi tiết

Vì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC nên: $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$ (1), $\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC},\widehat{B'C'A'}=\widehat{BCA},\widehat{C'A'B'}=\widehat{CAB}$ (2).

Hai tam giác A’B’M’ và ABM có:

$\frac{B'M'}{BM}=\frac{\frac{B'C'}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{B'A'}{BA}$ (theo (1)),

$\widehat{A'B'M'}=\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}=\widehat{ABM}$

Suy ra $\Delta A'B'M'\backsim \Delta ABM$(c.g.c). Do đó $\frac{A'M'}{AM}=\frac{A'B'}{AB}$.

Tương tự, \(\Delta B'C'N'\backsim \Delta BCN\) và suy ra $\frac{B'N'}{BN}=\frac{B'C'}{BC},\Delta C'A'P'\backsim \Delta CAP$ và suy ra $\frac{C'P'}{CP}=\frac{A'C'}{AC}$. Từ các đẳng thức trên và (1) ta suy ra $\frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}$.