Giải bài 3 trang 87 vở thực hành Toán 8 tập 2
Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA’B’C’ ∽ ΔABC
Đề bài
Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA’B’C’ ∽ ΔABC
Chứng minh rằng A′M′AM=B′N′BN=C′P′CP.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra các tỉ số đồng dạng để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Vì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC nên: A′B′AB=B′C′BC=C′A′CA (1), ^A′B′C′=^ABC,^B′C′A′=^BCA,^C′A′B′=^CAB (2).
Hai tam giác A’B’M’ và ABM có:
B′M′BM=B′C′2BC2=B′C′BC=B′A′BA (theo (1)),
^A′B′M′=^A′B′C′=^ABC=^ABM
Suy ra ΔA′B′M′∽(c.g.c). Do đó \frac{A'M'}{AM}=\frac{A'B'}{AB}.
Tương tự, \Delta B'C'N'\backsim \Delta BCN và suy ra \frac{B'N'}{BN}=\frac{B'C'}{BC},\Delta C'A'P'\backsim \Delta CAP và suy ra \frac{C'P'}{CP}=\frac{A'C'}{AC}. Từ các đẳng thức trên và (1) ta suy ra \frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}.