Giải bài 34 trang 102 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $BD,CE$ cắt nhau tại $G$. Gọi $F,H$ lần lượt là trung điểm của $BG,CG$.

a)     Tứ giác $EFHD$ là hình gì? Vì sao?

b)    Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để tứ giác $EFHD$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết

a)     Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $DG = \frac{1}{2}BG,EG = \frac{1}{2}CG$. Mà $F,H$ lần lượt là trung điểm của $BG,CG$ nên $DG = BF = FG,EG = CH = HG$.

Tứ giác $EFHG$ có hai đường chéo $EH$ và $DF$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $EFHG$ là hình bình hành.

b)    Để hình bình hành $EFHG$ là hình vuông thì $EH = DF$ và $EH \bot DF$

suy ra $BG = CG,EG = DG$ và $BD \bot CE$.

$\Delta BEG = \Delta CDG$ (c.g.c). Suy ra $BE = CD$. Mà $AB = 2BE,AC = 2CD$, suy ra $AB = AC$.

Dễ thấy nếu $AB = AC$ và $BD \bot CE$ thì tứ giác $EFHG$ là hình vuông.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường trung tuyến $BD$, $CE$ vuông góc với nhau thì tứ giác $EFHG$ là hình vuoogn.