Giải bài 35 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Biểu diễn dưới dạng phân số của $1,\left( 7 \right)$ là:

A. $\frac{7}{9}$

B. $\frac{{10}}{9}$

C. $\frac{{10}}{3}$

D. $\frac{{16}}{9}$

Lời giải chi tiết

Ta có $1,\left( 7 \right) = 1 + \frac{7}{{10}} + \frac{7}{{100}} + \frac{7}{{1000}} + ...$

Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = \frac{7}{{10}}$ và công bội $q = \frac{1}{{10}}$.

Do $q = \frac{1}{{10}} < 1$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân này là $S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}$.

Do đó $1,\left( 7 \right) = 1 + \left( {\frac{7}{{10}} + \frac{7}{{100}} + \frac{7}{{1000}} + ...} \right) = 1 + \frac{7}{9} = \frac{{16}}{9}$

Đáp án đúng là D.