Giải bài 39 trang 55 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_2}.{u_5} = 243\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${u_3} = {u_2}q \Rightarrow {u_2} = \frac{{{u_3}}}{q} = \frac{{16}}{q}$, ${u_4} = {u_3}q = 16q$

Mà ${u_2} + {u_4} = 40$, suy ra $\frac{{16}}{q} + 16q = 40 \Rightarrow 16 + 16{q^2} = 40q$

$\Rightarrow 16{q^2} - 40q + 16 = 0 \Rightarrow 2{q^2} - 5q + 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\q = 2\end{array} \right.$

Trường hợp 1: $q = \frac{1}{2}$. Ta có ${u_3} = 16 \Rightarrow {u_1}{q^2} = 16 \Rightarrow {u_1}.\frac{1}{4} = 16 \Rightarrow {u_1} = 64$

Trường hợp 2: $q = 2$. Tương tự, ta có ${u_1} = 4$.

b) Ta có ${u_2}.{u_5} = {u_1}.q.{u_1}.{q^4} = {u_1}.\left( {{u_1}.{q^5}} \right) = {u_1}.{u_6}$.

Hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_1}.{u_6} = 243\end{array} \right.$

Theo định lí Viète, ${u_1}$ và ${u_6}$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 244X + 243 = 0$

Phương trình trên có 2 nghiệm $X = 1$ và $X = 243$. Ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: ${u_1} = 1$ và ${u_6} = 243$. Do ${u_6} = {u_1}{q^5}$, ta suy ra ${q^5} = 243 \Rightarrow q = 3$.

Trường hợp 2: ${u_1} = 243$ và ${u_6} = 1$. Do ${u_6} = {u_1}{q^5}$, ta suy ra ${q^5} = \frac{1}{{243}} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$.

c) Ta có

${u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = {u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)$;

${u_4} + {u_5} + {u_6} = {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = {u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right)$.

Vậy $\frac{{13}}{{351}} = \frac{{{u_1} + {u_2} + {u_3}}}{{{u_4} + {u_5} + {u_6}}} = \frac{{{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{1}{{{q^3}}}$

Suy ra ${q^3} = \frac{{351}}{{13}} = 27 \Rightarrow q = 3$. Từ đó ${u_1} = \frac{{13}}{{1 + q + {q^2}}} = \frac{{13}}{{1 + 3 + {3^2}}} = 1$.