Giải bài 4. 24 trang 89 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Cách 1.

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat {BAC} = {90^o}$ hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay $\widehat {A{\rm{D}}E} = {90^o}$.

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay $\widehat {AEF} = {90^o}$

Ta có: $\widehat {BAC} + \widehat {A{\rm{D}}E} + \widehat {AFE} + \widehat {DEF} = {360^o}$

90°+90°+90 ^o $+ \widehat {DEF}$ = 360 ^o 270°+ $\widehat {DEF}$=360°

Suy ra $\widehat {DEF}$=360°−270°=90 ^o

Tứ giác ADEF có $\widehat {BAC} = {90^o};\widehat {A{\rm{D}}E} = {90^o};\widehat {AEF} = {90^o};\widehat {DEF} = {90^{^o}}$

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Cách 2.

a) Tam giác ABC vuông tại A, AE là tiếp tuyến (gt)

=> $AE = \frac{1}{2}BC$ (1)

D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC (gt)

=> $DF = \frac{1}{2}BC$ (2)

Từ (1) và (2) => AE = DF.

b) DF là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

=> DF // BE (DF //BC) và DF = BE (DF = $\frac{1}{2}$BC = BE).

=> Tứ giác BDFE là hình bình hành => DE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

I là trung điểm của DE (gt) => I là trung điểm của BF => B, I, F thẳng hàng.