Giải bài 4.38 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC cân tại A có A= 120 . Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có ^A=120∘. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
a) ΔBAM = ΔCAN;
b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp g-c-g
b) Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau hoặc 2 góc bằng nhau
Lời giải chi tiết
a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:
^BAM=^CAM(=900)
AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)
ˆB=ˆC (Do tam giác ABC cân tại A)
=>ΔBAM=ΔCAN(g.c.g)
b) Cách 1:
Xét tam giác ABC cân tại A, có ^A=120∘ có:
ˆB=ˆC=180o−120o2=30o.
Xét tam giác ABM vuông tại A có:
ˆB+^BAM+^AMB=180o⇒30o+90o+^AMB=180o⇒^AMB=60o⇒^AMC=180o−^AMB=180o−60o=120o
Xét tam giác MAC có:
^AMC+^MAC+ˆC=180o⇒120o+^MAC+30o=180o⇒^MAC=30o=ˆC
⇒ Tam giác AMC cân tại M.
Vì ΔBAM=ΔCAN
=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)
=> BM+MN=CN+NM
=> BN=CM
Xét 2 tam giác ANB và AMC có:
AB=AC (cmt)
AN=AM(do ΔBAM=ΔCAN)
BN=MC (cmt)
=>ΔANB=ΔAMC(c.c.c)
Mà tam giác AMC cân tại M.
=> Tam giác ANB cân tại N.
Cách 2:
Xét tam giác ABC cân tại A, có ^A=120∘ có:
ˆB=ˆC=180o−120o2=30o.
Xét tam giác ABM vuông tại A có:
ˆB+^BAM+^AMB=180o⇒30o+90o+^AMB=180o⇒^AMB=60o
Vì ΔBAM=ΔCAN nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)
=> ΔAMN đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)
=> ^NAM=600
Ta có: ^BAN+^NAM=^BAM
=> ^BAN+600=900
=> ^BAN=300
Xét tam giác ABN có ^BAN=^ABN(=300 nên ΔABN cân tại N.
Ta có: ^CAM+^NAM=^CAN
=> ^CAM+600=900
=> ^CAM=300
Xét tam giác ACM có ^CAM=^ACM(=300 nên ΔACM cân tại M.