Giải bài 4 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó
Đề bài
Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta đi chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn (O;R) qua phép tịnh tiến theo →B′C
Lời giải chi tiết
Kẻ đường kính BB’.
Do B, C cố định trên (O) nên B’, C cũng cố định trên (O).
Suy ra →B′C là vectơ không đổi.
Ta có ^BCB′=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra BC⊥B′C.
Mà AH⊥BC (do H là trực tâm của ∆ABC).
Do đó AH//B′C(1)
Chứng minh tương tự, ta được AB′//CH(2)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác AHCB’ là hình bình hành.
Suy ra AH=B′C.
Mà AH//B′C (chứng minh trên).
Vì vậy →AH=→B′C
Do đó H=T→B′C(A).
Vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn (O) là đường tròn (O’) qua T→B′C.