Giải bài 4 trang 72 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC cân tại A (ˆA<900), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A (ˆA<900), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt BD và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:
a) ^ABD=^ACE;
b) BH=CH;
c) Tam giác BOC vuông cân;
d) MNPQ là hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau để chứng minh.
b) Sử dụng kiến thức về tính chất tam giác cân để chứng minh: Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau.
d) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABD vuông tại D nên ^ABD+ˆA=900
Tam giác ACE vuông tại E nên ^ACE+ˆA=900
Do đó, ^ABD=^ACE
b) Tam giác ABC cân tại A nên ^ABC=^ACB
mà ^ABD=^ACE nên ^ABC−^ABD=^ACB−^ACE
Do đó, ^HBC=^HCB. Suy ra, tam giác HBC cân tại H. Do đó, BH=CH
c) Không có dữ kiện của điểm O trong đề bài
d) Gọi O là giao điểm của CN và BP.
Vì BO là tia phân giác của góc ABD nên ^B1=^B2=12^ABD
Vì CO là tia phân giác của góc ACE nên ^C2=12^ACE
Mà ^ABD=^ACE (cmt) nên ^B2=^C2.
Do đó, ^B2+^B3=^C2+^C3 hay ^OBC=^OCB. Suy ra, tam giác BOC cân tại O. Do đó, OB=OC
Ta có: ^B1=^C2(=^B2) nên ta có:
^B3+^B2+^C2+^C3=^B3+^B2+^B1+^C3=1800−^BEC=900
Do đó, ^BOC=900 nên BO⊥NQ
Tam giác BMH và tam giác CQH có:
^B2=^C2 (cmt), BH=CH (cmt), ^BHM=^CHQ (hai góc đối đỉnh). Do đó, ΔBMH=ΔCQH(g−c−g). Suy ra: BM=CQ
Do đó, OB−BM=OC−QC nên OM=OQ (1)
Tam giác BNQ có BO là đường cao đồng thời phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác BNQ cân tại B.
Suy ra, BO là đường trung tuyến nên ON=OQ (2)
Chứng minh tương tự ta có: OM=OP (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: OM=OQ=OP=ON
Do đó, ON+OQ=OM+OP hay NQ=MP
Tứ giác MNPQ có: OM=OP;OQ=ON nên MNPQ là hình bình hành, mà NQ=MP nên MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: MP⊥NQ nên MNPQ là hình vuông.