Giải bài 4 trang 88 vở thực hành Toán 9 tập 2
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) như hình bên. a) Biết rằng (widehat {AOC} = {60^o},widehat {BOD} = {80^o}). Tính số đo của góc AID. b) Chứng minh rằng (IA.IB = IC.ID).
Đề bài
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) như hình bên.
a) Biết rằng ^AOC=60o,^BOD=80o. Tính số đo của góc AID.
b) Chứng minh rằng IA.IB=IC.ID.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) - Góc nội tiếp ADC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung nhỏ AC nên ^ADC=^AOC2.
- Góc nội tiếp BAD và góc ở tâm BOD cùng chắn cung nhỏ DB nên ^BAD=^BOD2.
Do tổng ba góc trong tam giác AID bằng 180o nên: ^AID=180o−^IAD−^IDA=180o−^ADC−^BAD.
b) Chứng minh ΔIAC∽, suy ra \frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IB}}, hay IA.IB = IC.ID.
Lời giải chi tiết
a) Xét đường tròn (O), ta có:
- Góc nội tiếp ADC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung AC nên \widehat {ADC} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = {30^o}.
- Góc nội tiếp BAD và góc ở tâm BOD cùng chắn cung DB nên \widehat {BAD} = \frac{{\widehat {BOD}}}{2} = {40^o}.
Do tổng ba góc trong tam giác AID bằng {180^o} nên:
\widehat {AID} = {180^o} - \widehat {IAD} - \widehat {IDA} = {180^o} - \widehat {ADC} - \widehat {BAD} = {110^o}
b) Hai tam giác IAC và tam giác IDB có: \widehat {AIC} = \widehat {DIB} (hai góc đối đỉnh), \widehat {CAI} = \widehat {CAB} = \widehat {CDB} = \widehat {IDB} (vì \widehat {CAB} và \widehat {CDB} là hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung nhỏ \overset\frown{CB})
Suy ra \Delta IAC\backsim \Delta IDB\left( g.g \right). Do đó, \frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IB}}, hay IA.IB = IC.ID.