Giải bài 41 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng ${\rm{a}}$, tam giác $AB'C'$ cân tại $A$, mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ và $AA' = a\sqrt 3$.

a) Chứng minh rằng $BCC'B'$ là hình chữ nhật.

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$.

c) Tính góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $AH$ vuông góc với $B'C'$ tại $H$ thì $AH \bot \left( {A'B'C'} \right)$ và $H$ là trung điểm của $B'C'$, tam giác $A'B'C'$ đều nên $A'H \bot B'C'$ $\Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'C' \bot AA'$.

Mà $BB'//AA'$ nên $B'C' \bot BB'$ hay $BCC'B'$ là hình chữ nhật.

b) Tam giác $AA'H$ vuông tại $H$, ta có:$A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \sqrt {A{A^{{\rm{'}}2}} - A'{H^2}}  = \frac{{3a}}{2}$.

Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$ bằng ${S_{A'B'C'}} \cdot AH = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}$.

c) Vì $A'H$ là hình chiếu vuông góc của $AA'$ trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ nên góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $AA'$ và $A'H$, mà $\left( {AA',A'H} \right) = \widehat {AA'H}$.

Tam giác $AA'H$ vuông tại $H$, ta có: ${\rm{cos}}\widehat {AA'H} = \frac{{A'H}}{{AA'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AA'H} = {60^ \circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.