Giải bài 43 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB=a,AA′=2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB′ và CC′.
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB=a,AA′=2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB′ và CC′.
a) Tính theo a thể tích khối tứ diện AA′MN.
b) Tính côsin góc nhị diện [A,MN,A′].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nhận xét SAA′MN=12SABB′A′=avà CC′ song song với (ABB′A′) nên d(N,(AA′M))=d(C,(ABB′A′))=CH=a√32
Tính thể tích khối chóp AA′MN bằng 13⋅SAA′M⋅d(N,(AA′M))
b. Gọi là trung điểm của MN thìAI⊥MN,A′I⊥MN⇒[A,MN,A′]=^AIA′
Tính AI,A′I
Áp dụng định lí côsin áp dụng cho tam giác AA′I, ta có:cos^AIA′=AI2+A′I2−AA′22⋅AI⋅A′I.
Lời giải chi tiết
Ta có SAA′MN=12SABB′A′=avà CC′ song song với (ABB′A′) nên d(N,(AA′M))=d(C,(ABB′A′))=CH=a√32
Thể tích khối chóp AA′MN bằng 13⋅SAA′M⋅d(N,(AA′M))=a3√36
b. Gọi là trung điểm của MN thìAI⊥MN,A′I⊥MN⇒[A,MN,A′]=^AIA′
AI=A′I=√AM2−MI2=√AB2+BM2−MI2=a√72
Theo đinh lí côsin áp dụng cho tam giác AA′I, ta có:
cos^AIA′=AI2+A′I2−AA′22⋅AI⋅A′I=−17.