Giải bài 42 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có $AB = a,AD = a\sqrt 2$, góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${30^ \circ }$.

a) Tính theo a thể tích khối hộp chữ nhật.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD'$.

Lời giải chi tiết

a) Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $AC$ bằng $\widehat {A'CA} = {30^ \circ }$$\Rightarrow AA' = AC \cdot {\rm{tan}}{30^ \circ } = a\sqrt 3  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = a{\rm{.\;}}$

Thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD \cdot A'B'C'D'$ bằng $AB \cdot AD \cdot AA' = {a^3}\sqrt 2$.

${\rm{b)\;V\`i \;}}CD'//\left( {A'BD} \right){\rm{,BD}} \subset {\rm{\;}}\left( {A'BD} \right){\rm{\;}} \Rightarrow d\left( {CD',BD} \right) = d\left( {CD',\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {D',\left( {A'BD} \right)} \right)$

Vì $D'$ cắt mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ tại trung điểm của đoạn $AD'$ nên

$d\left( {D',\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {{A_,}\left( {A'BD} \right)} \right){\rm{.\;}}$

Đặt $d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = h$ thì $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{5}{{2{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}$.

Vậy $d\left( {CD',BD} \right) = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}$.