Giải bài 41 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ∆ ₁ : 3 x + y - 5 = 0 và ∆ ₂ : x + 2 y − 3 = 0

b) ${\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.$ và ${\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y =  - t'\end{array} \right.$

c) ${\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0$ và ${\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) ∆ ₁ : 3 x + y - 5 = 0 và ∆ ₂ : x + 2 y − 3 = 0

∆ ₁ có VTPT là $\overrightarrow {{n_1}}  = (3;1)$; ∆ ₂ có VTPT là $\overrightarrow {{n_2}}  = (1;2)$

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{3.1 + 1.2}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}$$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {45^0}$

Vậy $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^0}$

b) ${\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y =  - 1 + 3t\end{array} \right.$ và ${\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y =  - t'\end{array} \right.$

∆ ₃ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}}  = (\sqrt 3 ;3)$; ∆ ₄ có VTPT là $\overrightarrow {{u_2}}  = ( - \sqrt 3 ; - 1)$

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) + 3.( - 1)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}$$=  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = {150^0}$

Vậy $\left( {{\Delta _3},{\Delta _4}} \right) = {180^0} - {150^0} = {30^0}$

c) ${\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0$ và ${\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.$

∆ ₅ có VTPT là $\overrightarrow n  = ( - \sqrt 3 ;3)$ $\Rightarrow {\Delta _5}$ có một VTCP là $\overrightarrow {{u_3}}  = (3;\sqrt 3 )$

∆ ₆ có VTCP là $\overrightarrow {{u_4}}  = (3; - \sqrt 3 )$

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_4}} } \right) = \frac{{3.3 + \sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}$$= \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_3}} ,\overrightarrow {{u_4}} } \right) = {60^0}$

Vậy $\left( {{\Delta _5},{\Delta _6}} \right) = {60^0}$