Giải bài 5 trang 104, 105 vở thực hành Toán 9 tập 2
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình bên. Phép quay ngược chiều ({60^o}) tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.
Đề bài
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình bên. Phép quay ngược chiều 60o tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Theo hình vẽ ta thấy ADBECF là lục giác lồi và nội tiếp đường tròn (O,R).
+ Chứng minh tam giác AOD,DOB là các tam giác đều. Suy ra AD=DB=OD=R.
+ Chứng minh tương tự có AD=DB=BE=EC=CF=FA=R.
+ Chứng minh sđ⌢AOD=sđ⌢DOB=sđ⌢BOE=sđ⌢EOC=sđ⌢COF=sđ⌢FOA=60o. Từ đó tính được các góc của lục giác đều ADBECF.
+ Lục giác có tất cả các góc bằng nhau, tất cả các cạnh bằng nhau nên là lục giác đều.
Lời giải chi tiết
Theo hình vẽ, ta thấy ADBECF là lục giác lồi và nội tiếp đường tròn (O,R).
Ta có ^AOD=60o,^DOB=^AOB−^AOD=2^ACB−^AOD=60o. Do đó các tam giác cân AOD,DOB là các tam giác đều. Suy ra AD=DB=OD=R.
Tương tự, ta suy ra: AD=DB=BE=EC=CF=FA=R.
Như vậy ta được lục giác lồi ADBECF có các cạnh bằng nhau và nội tiếp đường tròn (O).
Mặt khác, tương tự như trên ta có sđ⌢AOD=sđ⌢DOB=sđ⌢BOE=sđ⌢EOC=sđ⌢COF=sđ⌢FOA=60o.
Do đó các góc của lục giác này là các góc nội tiếp của (O) chắn cung có số đo bằng 46⋅360o.
Vậy các góc của lục giác ADBECF bằng nhau và bằng 412⋅360o=120o. Vậy ADBECF là lục giác đều.