Giải bài 5 trang 18 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

So sánh các cặp số sau:

a) $\sqrt 3$ và $\sqrt[5]{{27}}$;

b) ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^4}$ và ${\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^3}$;

c) $\sqrt[3]{{\frac{1}{5}}}$ và $\sqrt[5]{{25}}$;

d) $\sqrt[9]{{0,{7^{10}}}}$ và $\sqrt[{10}]{{0,{7^9}}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\sqrt 3  = {3^{\frac{1}{2}}},\sqrt[5]{{27}} = \sqrt[5]{{{3^3}}} = {3^{\frac{3}{5}}}$

Vì $3 > 1$ nên hàm số $y = {3^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\frac{1}{2} < \frac{3}{5}$ nên ${3^{\frac{1}{2}}} < {3^{\frac{3}{5}}}$ hay $\sqrt 3  < \sqrt[5]{{27}}$.

b) Ta có: ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^8},{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}$

Vì $\frac{1}{3} < 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $8 < 9$ nên ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^8} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^9}$ hay ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^4} > {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^3}$.

c) Ta có: $\sqrt[3]{{\frac{1}{5}}} = {5^{\frac{{ - 1}}{3}}},\sqrt[5]{{25}} = {5^{\frac{2}{5}}}$

Vì $5 > 1$ nên hàm số $y = {5^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\frac{{ - 1}}{3} < \frac{2}{5}$ nên ${5^{\frac{{ - 1}}{3}}} < {5^{\frac{2}{5}}}$ hay $\sqrt[3]{{\frac{1}{5}}} < \sqrt[5]{{25}}$.

d) Ta có: $\sqrt[9]{{0,{7^{10}}}} = 0,{7^{\frac{{10}}{9}}},\sqrt[{10}]{{0,{7^9}}} = 0,{7^{\frac{9}{{10}}}}$

Vì $0 < 0,7 < 1$ nên hàm số $y = 0,{7^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $\frac{{10}}{9} > \frac{9}{{10}}$ nên $0,{7^{\frac{{10}}{9}}} < 0,{7^{\frac{9}{{10}}}}$ hay $\sqrt[9]{{0,{7^{10}}}} < \sqrt[{10}]{{0,{7^9}}}$.