Giải bài 5 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (−π;π). a) sin(3x−π3)=1;
Đề bài
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng (−π;π).
a) sin(3x−π3)=1;
b) 2cos(2x−3π4)=√3;
c) tan(x+π9)=tan4π9.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a) Phương trình sinx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=π−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [−π2;π2] sao cho sinα=m.
Đặc biệt: sinu=sinv ⇔u=v+k2π(k∈Z) hoặc u=π−v+k2π(k∈Z)
b) Phương trình cosx=m có nghiệm khi |m|≤1. Khi đó, nghiệm của phương trình là x=α+k2π(k∈Z); x=−α+k2π(k∈Z) với α là góc thuộc [0;π] sao cho cosα=m.
Đặc biệt: cosu=cosv ⇔u=v+k2π(k∈Z) hoặc u=−v+k2π(k∈Z)
c) Với mọi số thực m, phương trình tanx=m có nghiệm x=α+kπ(k∈Z) với α là góc thuộc (−π2;π2) sao cho tanα=m.
Lời giải chi tiết
a) sin(3x−π3)=1 ⇔3x−π3=π2+k2π(k∈Z) ⇔x=5π18+k2π3(k∈Z)
Vì x∈(−π;π)⇒−π<5π18+k2π3<π ⇔−2312<k<1312
Mà k∈Z nên k∈{−1;0;1}. Do đó, x∈{−7π18;5π18;17π18}.
b) 2cos(2x−3π4)=√3 ⇔cos(2x−3π4)=√32 ⇔cos(2x−3π4)=cosπ6
⇔[2x−3π4=π6+k2π2x−3π4=−π6+k2π(k∈Z) ⇔[x=11π24+kπx=7π24+kπ(k∈Z)
Vì x∈(−π;π) nên:
TH1: −π<11π24+kπ<π ⇔−3524<k<1324.
Mà k∈Z nên k∈{−1;0}. Do đó, x∈{−13π24;11π24}.
TH2: −π<7π24+kπ<π ⇔−3124<k<1724.
Mà k∈Z nên k∈{−1;0}. Do đó, x∈{−17π24;7π24}.
Vậy x∈{−17π24;−13π24;7π24;11π24}.
c) tan(x+π9)=tan4π9 ⇔x+π9=4π9+kπ(k∈Z) ⇔x=π3+kπ(k∈Z).
Vì x∈(−π;π)⇒−π<π3+kπ<π ⇔−43<k<23
Mà k∈Z nên k∈{−1;0}. Do đó, x∈{−2π3;π3}.