Giải bài 5 trang 39 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình (sleft( t right) = 2{t^2} + 5t + 2), trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm (t = 4).
Đề bài
Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình s(t)=2t2+5t+2, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm t=4.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để tính: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại {x_0}, kí hiệu là f'\left( {{x_0}} \right) hoặc y'\left( {{x_0}} \right). Vậy f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}
+ Sử dụng kiến thức về ý nghĩa đạo hàm để tính: Nếu hàm số s = f\left( t \right) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f'\left( {{t_0}} \right) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm {t_0}
Lời giải chi tiết
Ta có: Với {t_0} bất kì ta có:
s'\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{2{t^2} + 5t + 2 - 2t_0^2 - 5{t_0} - 2}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{2\left( {{t^2} - t_0^2} \right) + 5\left( {t - {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left( {2t + 2{t_0} + 5} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {2t + 2{t_0} + 5} \right) = 4{t_0} + 5
Do đó, s'\left( t \right) = 4t + 5
Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm t = 4 là: s'\left( 4 \right) = 4.4 + 5 = 21 (giây)