Giải bài 5 trang 58 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau: a) un=2n−133n−2; b) un=n2+3n+1n+1; c) un=1√1+n+n2.
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau:
a) un=2n−133n−2;
b) un=n2+3n+1n+1;
c) un=1√1+n+n2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số (un).
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1>un,∀n∈N∗.
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1<un,∀n∈N∗.
* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un≤M,∀n∈N∗.
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un≥m,∀n∈N∗.
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho m≤un≤M,∀n∈N∗.
Lời giải chi tiết
a) un+1−un=2(n+1)−133(n+1)−2−2n−133n−2=2n−113n+1−2n−133n−2=35(3n+1)(3n−2)>0∀n∈N∗
Do đó, un+1>un∀n∈N∗. Suy ra, dãy số (un) là dãy số tăng.
Lại có: un=2n−133n−2=23−353(3n−2), suy ra: −11≤un<23∀n∈N∗. Do đó, (un) là dãy số bị chặn.
b) Ta có: un+1−un=(n+1)2+3(n+1)+1n+1+1−n2+3n+1n+1=n2+5n+5n+2−n2+3n+1n+1
=(n2+5n+5)(n+1)−(n2+3n+1)(n+2)(n+2)(n+1)=n2+3n+3(n+1)(n+2)>0∀n∈N∗
Do đó, un+1>un∀n∈N∗. Suy ra, dãy số (un) là dãy số tăng.
Lại có: un=n2+3n+1n+1>n2+2n+1n+1=n+1≥2∀n∈N∗. Do đó, (un) là dãy số bị chặn dưới.
c) Ta có: un>0∀n∈N∗
Do đó, un+1un=1√1+(n+1)+(n+1)21√1+n+n2=√1+n+n2n2+3n+3<1∀n∈N∗
Do đó, un+1<un∀n∈N∗. Suy ra, dãy số (un) là dãy số giảm.
Lại có: n≥1,n2≥1∀n∈N∗⇒n2+n+1≥3∀n∈N∗⇒1√n2+n+1≤13∀n∈N∗
Do đó, 0<1√1+n+n2≤1√3∀n∈N∗. Do đó, (un) là dãy số bị chặn.