Giải bài 5 trang 43 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y=xsin2x;
b) y=cos2x;
c) y=x4−3x3+x2−1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mọi x∈(a;b) thì ta có hàm số y′=f′(x) xác định trên (a;b). Nếu hàm số y′=f′(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y′ là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) tại x và kí hiệu là y″ hoặc f''\left( x \right).
+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm:
a) \left( {uv} \right)' = u'v + uv', \left( {\sin u\left( x \right)} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'\cos u\left( x \right), x' = 1, \left( {u + v} \right)' = u' + v', \left( {\cos u\left( x \right)} \right)' = - \left( {u\left( x \right)} \right)'\sin u\left( x \right)
b) \left\{ {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right\}' = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]';\left( {\cos x} \right)' = - \sin x, \left( {\sin u\left( x \right)} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'\cos u\left( x \right)
c) \left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v', \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)
Lời giải chi tiết
a) y' = \left( {x\sin 2x} \right)' = x'\sin 2x + x\left( {\sin 2x} \right)' = \sin 2x + 2x\cos 2x
\Rightarrow y'' = \left( {\sin 2x + 2x\cos 2x} \right)' = 2\cos 2x + 2x'\cos 2x + 2x\left( {\cos 2x} \right)'
= 2\cos 2x + 2\cos 2x - 4x\sin 2x = 4\cos 2x - 4x\sin 2x
b) y' = \left( {{{\cos }^2}x} \right)' = 2\left( {\cos x} \right)'\cos x = - 2\cos x\sin x = - \sin 2x
\Rightarrow y'' = \left( { - \sin 2x} \right)' = - 2\cos 2x
c) y' = \left( {{x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1} \right)' = 4{x^3} - 9{x^2} + 2x \Rightarrow y'' = \left( {4{x^3} - 9{x^2} + 2x} \right)' = 12{x^2} - 18x + 2