Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}*$, ta có:

a) ${13^n} - 1$ chia hết cho 6.

b) ${4^n} + 15n - 1$ chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a)

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${13^1} - 1 = 12$ chia hết cho 6.

Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

${13^{k + 1}} - 1$ chia hết cho 6.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${13^k} - 1$ chia hết cho 6.

Suy ra

${13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = 13.\left( {{{13}^k} - 1} \right) + 12$ chia hết cho 6

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

b)

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${4^1} + 15.1 - 1 = 18$ chia hết cho 9.

Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

${4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1$ chia hết cho 9.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${4^k} + 15k - 1$ chia hết cho 9.

Suy ra

${4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\left( {{4^k} + 15k - 1} \right) - 45k + 18$ chia hết cho 9

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.