Giải bài 5 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Xét khai triển ${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}$

a) Xác định hệ số của ${x^7}$

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ${a_k}$ của ${x^k}$ với $0 \le k \le 12$

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}} = C_{12}^0{x^{12}} + C_{12}^1{x^{11}}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^1} + ... + C_{12}^k{x^{12 - k}}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^k} + ... + C_{12}^{12}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12}}$

Số hạng chứa ${x^7}$ ứng với $12 - k = 7 \Rightarrow k = 5$. Do đó hệ số của ${x^7}$  là

$C_{12}^5{\left( {\frac{5}{2}} \right)^5}$

b) Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}$ là $C_{12}^{12 - k}{(x)^k}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12 - k}}$

Như vậy, hệ số ${a_k}$ của ${x^k}$ với $0 \le k \le 12$ là $C_{12}^{12 - k}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12 - k}}$