Giải Bài 53 trang 85 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:
a) BH = CH;
b) MB = MC;
c) MA < AC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) suy ra BH = CH.
- Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta ACM(c - g - c)\) suy ra BM = CM.
- Chứng minh góc AMC là góc tù và sử dụng mỗi quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh: MA < AC
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Xét ∆AHB và ∆AHC có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BA = AC (chứng minh trên),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Vậy BH = CH.
b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)
Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\) (hai góc tương ứng).
Xét ∆AMB và ∆AMC có:
BA = AC (chứng minh câu a),
\(\widehat {MAB} = \widehat {MAC}\) (do \(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\)),
AM là cạnh chung
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).
Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).
Vậy BM = CM.
c) Vì \(\widehat {AMC}\) là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M
Nên \(\widehat {AMC} = \widehat {MHC} + \widehat {MCH}\)
Mà \(\widehat {MHC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AMC}\) là góc tù
Xét tam giác AMC có \(\widehat {AMC}\) là góc tù
Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Vậy MC < AC.