Giải bài 54 trang 124 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho ^BAD=^CAM. a) Chứng minh ^ADB=^CDM. b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết BC=R√2.
Đề bài
Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho ^BAD=^CAM.
a) Chứng minh ^ADB=^CDM.
b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết BC=R√2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Chứng minh^BAM=^DAC.
Bước 2: Chứng minh ABAD=CMCD (ΔABM∽).
Bước 3: Chứng minh \widehat {ADB} = \widehat {CDM} (\Delta ABD\backsim \Delta CMD).
b) Bước 1: Chứng minh \Delta OBM = \Delta OCMđể tính CM và suy ra \widehat {OMB} = \widehat {OMC}.
Bước 2: Tính OM, chứng minh tam giác OCM vuông cân tại M.
Bước 3: Áp dụng công thức S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \widehat {BAD} + \widehat {DAM} = \widehat {BAM},\widehat {DAM} + \widehat {CAM} = \widehat {DAC}, mà \widehat {BAD} = \widehat {CAM}suy ra \widehat {BAM} = \widehat {DAC}.
Ta lại có \widehat {ABM} = \widehat {ADC} (2 góc nội tiếp chắn cung AC của (O))
Xét tam giác ABM và tam giác ADC có:
\widehat {ABM} = \widehat {ADC}, \widehat {BAM} = \widehat {DAC}
Suy ra \Delta ABM\backsim \Delta ADC(g.g), do đó \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CD}}.
Xét tam giác ABD và tam giác CMD có:
\widehat {BAD} = \widehat {MCD} (góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))
\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CD}}
Suy ra \Delta ABD\backsim \Delta CMD(c.g.c), do đó \widehat {ADB} = \widehat {CDM}.
b) Xét tam giác OBM và tam giác OCM có:
OM chung
OB = OC(bằng bán kính (O))
MB = MC(M là trung điểm của BC)
Suy ra \Delta OBM = \Delta OCM(c.c.c), do đó CM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2} và \widehat {OMB} = \widehat {OMC}
Mà \widehat {OMB} + \widehat {OMC} = 180^\circ , suy ra \widehat {OMB} = \widehat {OMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OCM có:
OM = \sqrt {O{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}
Ta thấy OM = CM\left( { = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right) nên tam giác OCM vuông cân tại M, suy ra \widehat {COE} = 45^\circ .
Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE là:
S = \frac{{\pi {R^2}.45}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{8} (đvdt).