Giải bài 7 trang 10 SBT toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng

a) $2{x^2} + \sqrt 3 x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

b) ${x^2} + x + \frac{1}{4} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

c) $- {x^2} <  - 2x + 3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

a) Tam thức $2{x^2} + \sqrt 3 x + 1$ có $\Delta  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 4.2 =  - 5 < 0$ và $a = 2 > 0$

Suy ra $2{x^2} + \sqrt 3 x + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}$  (đpcm)

b) Tam thức ${x^2} + x + \frac{1}{4}$ có $\Delta  = {1^2} - 4.\frac{1}{4} = 0$, có nghiệm kép $x =  - \frac{1}{2}$ và $a = 1 > 0$

Suy ra ${x^2} + x + \frac{1}{4} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$  (đpcm)

c) $- {x^2} <  - 2x + 3$ với mọi $x \in \mathbb{R}$         $\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Xét tam thức ${x^2} - 2x + 3$ ta có $\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.3 =  - 8 < 0$ và $a = 1 > 0$

Suy ra ${x^2} - 2x + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow  - {x^2} <  - 2x + 3$        (đpcm)