Giải bài 7 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = m$. Tìm m để $\sin 2\alpha  =  - \frac{3}{4}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sin \alpha  + \cos \alpha$ $= \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right)$ $= \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)$

Vì $- 1 \le \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ $\Rightarrow  - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$. Do đó, $- \sqrt 2  \le m \le \sqrt 2$

Lại có: ${\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2}$ $= {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha$ $= 1 + \sin 2\alpha$

Do đó, $\sin 2\alpha$ $= {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} - 1$ $= {m^2} - 1$

Mà $\sin 2\alpha$ $=  - \frac{3}{4}$ nên ${m^2} - 1$ $= \frac{{ - 3}}{4} \Leftrightarrow m$ $=  \pm \frac{1}{2}\left( {TM} \right)$