Giải bài 7 trang 58 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

Ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$$= \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*$

Suy ra, ${u_{n + 1}} > {u_n}$$\forall n \in \mathbb{N}*$. Suy ra, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Do ${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}}$

$\Rightarrow {u_n} < 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$

Do đó, $1 < {u_n} < 2\forall n \in \mathbb{N}*$

Suy ra, $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.