Giải bài 7 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 18\\{u_3} + {u_7} = 22\end{array} \right.$;

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_9} - {u_4} = 15\\{u_3}.{u_8} = 184\end{array} \right.$;

c) $\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 8\\u_2^2 + u_4^2 = 16\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết

a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 18\\{u_3} + {u_7} = 22\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 5d = 18\\{u_1} + 2d + {u_1} + 6d = 22\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 5d = 18\\2{u_1} + 8d = 22\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{17}}{3}\\d = \frac{4}{3}\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là $\frac{{17}}{3}$ và công sai $d = \frac{4}{3}$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_9} - {u_4} = 15\\{u_3}.{u_8} = 184\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 8d - {u_1} - 3d = 15\\\left( {{u_1} + 2d} \right).\left( {{u_1} + 7d} \right) = 184\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\\left( {{u_1} + 2.3} \right).\left( {{u_1} + 7.3} \right) = 184\left( 1 \right)\end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{u_1} + 6} \right)\left( {{u_1} + 21} \right) = 184$$\Leftrightarrow u_1^2 + 27{u_1} - 58 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} =  - 29\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là ${u_1} = 2$ hoặc ${u_1} =  - 29$ và công sai $d = 3$.

c) $\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 8\\u_2^2 + u_4^2 = 16\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 8\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 16\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8 - 5d\\{\left( {8 - 5d + d} \right)^2} + {\left( {8 - 5d + 3d} \right)^2} = 16\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8 - 5d\\{\left( {8 - 4d} \right)^2} + {\left( {8 - 2d} \right)^2} = 16\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8 - 5d\\20{d^2} - 96d + 112 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8 - 5d\\\left[ \begin{array}{l}d = 2\\d = \frac{{14}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\d = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 6\\d = \frac{{14}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là $- 2$ và công sai $d = 2$ hoặc số hạng đầu của cấp số cộng là $- 6$ và công sai $d = \frac{{14}}{5}$.