Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tùy theo giá trị của a>0, tìm giới hạn lim.
Đề bài
Tùy theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn \lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b và c là hằng số: \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b, \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: \lim {q^n} = 0 (q là số thực, \left| q \right| < 1), \lim c = c (c là hằng số).
Lời giải chi tiết
Nếu 0 < a < 1 thì \lim {a^n} = 0 nên \lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \frac{{\lim {a^n}}}{{\lim {a^n} + 1}} = \frac{0}{{0 + 1}} = 0.
Nếu a = 1 thì \lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{{{1^n}}}{{{1^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.
Nếu a > 1 thì \lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}}.
Vì a > 1 nên 0 < \frac{1}{a} < 1, suy ra \lim {\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = 0.
Do đó, \lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + \lim {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1