Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc \({30^0}\), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Đề bài
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc \({30^0}\), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
+ Sử dụng kiến thức về thể tích khối tứ diện.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: \(AC \bot BD,AC \bot BB' \) \( \Rightarrow AC \bot \left( {BB'D} \right) \) \( \Rightarrow AC \bot B'O\)
Khi đó, \(BO \bot AC,B'O \bot AC,BO \subset \left( {ABCD} \right),B'O \subset \left( {B'AC} \right)\), AC là giao tuyến của (B’AC) và (ABCD). Do đó, \(\left( {\left( {B'AC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {BO,B'O} \right) = \widehat {B'OB} = {30^0}\)
Ta có: \(d\left( {B,\left( {D'AC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\)
Chứng minh được: \(AC \bot \left( {BB'D'D} \right) \) \( \Rightarrow \left( {D'AC} \right) \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và D’O là giao tuyến của (D’AC) và (BB’D’D).
Từ D kẻ \(DH \bot D'O\left( {H \in D'O} \right)\). Do đó, \(d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = DH = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác B’OB vuông tại B có: \(\frac{{BB'}}{{BO}} = \tan {30^0} \) \( \Rightarrow OD = BO = \sqrt 3 BB'\)
Xét tam giác D’DO vuông tại D, đường cao DH có:
\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \) \( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{1}{{3BB{'^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \) \( \Rightarrow D'D = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \) \( \Rightarrow OB = a\)
Gọi I là giao điểm của BD’ và B’O, suy ra: \(\frac{{BI}}{{D'I}} = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow d\left( {D',\left( {B'AC} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) \) \( \Rightarrow {V_{ACB'D'}} = 2{V_{B'ABC}}\)
Tam giác AOB vuông tại O có: \(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = 2{S_{ABO}} = 2.\frac{1}{2}.OB.OA = {a^2}\sqrt 3 \)
Suy ra: \({V_{B'ABC}} = \frac{1}{3}BB'.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{3}\). Vậy \({V_{ACB'D'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}\)