Giải bài 7 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết d(A,(A′BC))=a√5712. Tính VABC.A′B′C′.
Đề bài
Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết d(A,(A′BC))=a√5712. Tính VABC.A′B′C′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).
+ Sử dụng kiến thức về thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V=S.h
Lời giải chi tiết
Vì ABC. A’B’C’ là lăng trụ đều A′A⊥(ABC)⇒A′A⊥BC
Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, AI⊥BC
Ta có: A′A⊥BC, AI⊥BC nên BC⊥(A′AI)
Trong mặt phẳng (A’AI), kẻ AH⊥A′I(H∈A′I)⇒BC⊥AH
Vì BC⊥AH,AH⊥A′I nên AH⊥(A′BC). Do đó, d(A,(A′BC))=AH=a√5712.
Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABI vuông tại I. Suy ra: AI=AB.sin^ABC=a√32
Vì A′A⊥(ABC)⇒A′A⊥AI
Tam giác A’AI vuông tại A, AH là đường cao có:
1A′A2=1AH2−1AI2=14457a2−43a2=6857a2⇒A′A=a√96934
Thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là: VABC.A′B′C′=A′A.SABC=A′A.12.AI.BC=12a√96934.a√32.a=3a3√323136