Giải bài 7 trang 95 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”

Q: “Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$”

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: $P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P,P \Leftrightarrow Q,\overline P  \Rightarrow \overline Q .$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề $P \Rightarrow Q$

c) Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Lời giải chi tiết

a)

$P \Rightarrow Q$: “Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì các cạnh của nó thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$”

Mệnh đề này đúng.

$Q \Rightarrow P$: “Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ thì tam giác ABC vuông tại A”

Mệnh đề này đúng.

$P \Leftrightarrow Q$: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A khi và chỉ khi các cạnh của nó thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$”

Mệnh đề này đúng do các mệnh đề $P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P$đều đúng.

$\overline P  \Rightarrow \overline Q$: “Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì các cạnh của nó thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} \ne B{C^2}$”

Mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có thể phát biểu là:

“Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$”

“Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ là điều kiện cần để tam giác ABC vuông tại A”

c)

X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A.

Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$.

Dễ thấy: $X \subset Y$ do các tam giác ABC vuông thì đều có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$.

Ta chứng minh: Nếu tam giác ABC có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$ thì tam giác ABC vuông tại A.

Thật vậy, $BM = MC = AM = \frac{1}{2}BC$ suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC, ngoại tiếp tam giác ABC.

$\Rightarrow \widehat {BAC} = {90^ \circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.

Do đó $Y \subset X$

Vậy $X = Y$