Giải bài 8 trang 51 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình thang $ABCD\left( {AB//CD} \right)$. Đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD, BD, AC$ và $BC$ theo thứ tự tại các điểm $M, N, P, Q$.

Chứng minh rằng $MN = PQ$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD, BD, AC$ và $BC$ theo thứ tự tại các điểm $M,N,P,Q$ nên

$PM//AB//CD;MN//AB//CD;NQ//AB//CD$.

- Xét tam giác $BCD$ có $QN//CD$ và $QN$ cắt $BD;BC$ lần lượt tại $N;Q$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{BQ}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}}$  (1)

- Xét tam giác $ACD$ có $PM//CD$ và $PM$ cắt $AD;AC$ lần lượt tại $M;P$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{PA}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}}$  (2)

- Xét tam giác $DMN$ có $AB//MN$. Theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}}$  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

$\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow QN = PM$

Ta có:

$QN + MQ = PM + MQ \Rightarrow MN = PQ$ (điều phải chứng minh).