Giải bài 8 trang 89 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo
Cho hình bình hành
Đề bài
Cho hình bình hành ABCD . Các điểm E , F thuộc đường chéo AC sao cho AE=EF=FC . Gọi M là trung điểm của BF và CD , N là giao điểm của DE và AB . Chứng minh rằng:
a) M , N theo thứ tự là trung điểm của CD , AB
b) EMFN là hình bình hành
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất của hình bình hành
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
AE=EF=FC nên AE=EF=FC=13AC (1)
Vì ABCD là hình bình hành (gt)
Suy ra O là trung điểm của AC hay OA=OC=12AC và AC=2OA=2OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE=EF=FC=23OA=23OC .
Xét ΔBCD có CO là trung tuyến và CF=23CO (cmt)
Suy ra F là trọng tâm của ΔBCD
Suy ra BM là đường trung tuyến của ΔBCD
Suy ra M là trung điểm của CD
Xét ΔABD có AO là trung tuyến và AE=23AO (cmt)
Suy ra E là trọng tâm của ΔABD
Suy ra DN là đường trung tuyến của ΔABD
Suy ra N là trung điểm của AB
b) Do M là trung điểm của CD (câu a) nên MC=MD=12CD.
N là trung điểm của AB (câu a) nên NB=NA=12AB.
Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra NB = MD và NB // MD.
Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD
Do đó BMDN là hình bình hành.
Suy ra BM // DN và BM = DN.
Ta có E là trọng tâm của ΔABD nên EN=13DN.
F là trọng tâm của ΔBCD nên FM=13BM.
Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.
Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)
Suy ra EMFN là hình bình hành.