Giải bài 8 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác $ABC$ nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng $MN$. Tính diện tích tứ giác $MNCB$ theo diện tích tam giác $ABC$, biết $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{3}$ và $\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{1}{5}$ (Hình 12)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao $MH$ của tam giác $AMN$ và đường cao $BK$ của tam giác $ABC$.

Do $MH//BK$ nên $\frac{{MH}}{{BK}} = \frac{{AM}}{{AB}}$

Ta có $\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\left( {AN.MH} \right):2}}{{\left( {AC.BK} \right):2}} = \frac{{AN}}{{AC}}.\frac{{AM}}{{AB}}$ (1)

Do $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{3},\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{1}{5}$ nên $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{5},\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{6}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{6} = \frac{1}{3}$

→    ${S_{\Delta ABC}} = 3{S_{\Delta AMN}}$

Từ đó dễ thấy diện tích phần bị cắt bỏ bằng $\frac{2}{3}{S_{\Delta ABC}}$.