Giải bài 9.32 trang 57 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm E, F và cắt các tia đối của hai tia BF, CE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng XY song song với BC.
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm E, F và cắt các tia đối của hai tia BF, CE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng XY song song với BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của BC, đường kính BC, suy ra tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
+ Chứng minh ^FBC=180o−^FEC=180o−^FEY=^FXY, suy ra XY song song với BC.
Lời giải chi tiết
Vì các tam giác vuông BEC, BFC có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của BC và bán kính BC2. Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
Vì tổng các góc đối nhau của các tứ giác nội tiếp BFEC và XFEY bằng 180 độ nên:
^FBC=180o−^FEC=180o−^FEY=^FXY
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên XY song song với BC.