Giải bài 9.38 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức
Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng
Đề bài
Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng
a) AI<12(AB+AC)
b) AM<12(AB+AC)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng mối liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, chứng minh AI < AB, AI < AC.
b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD
-Chứng minh AB = CD
-Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ACD.
Lời giải chi tiết
a)
AI là đường vuông góc kẻ từ A xuống đoạn thẳng BC.
⇒{AI<ABAI<AC⇒2AI<AB+AC⇒AI<12(AB+AC) (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)
b)
Lấy D sao cho M là trung điểm của AD
Xét ΔABM và DCM có
AM = DM ( do M là trung điểm của AD)
BM = CM ( do M là trung điểm của BC)
^AMB=^CMD( 2 góc đối đỉnh)
⇒ΔABM=ΔDCM(c−g−c)
⇒AB=CD(2 cạnh tương ứng)
Xét ΔADC ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác)
⇒ 2AM < AC + AB
⇒ AM < 12(AB + AC)