Giải bài 9. 35 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Kí hiệu ${S_{ABC}}$ là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Chúng minh ${S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}$

Gợi ý : Sử dụng $GM = \dfrac{1}{3}AM$ để chứng minh ${S_{GMB}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}},{S_{GCM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}$.

b) Chứng minh ${S_{GCA}} = {S_{GAB}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $GM = \dfrac{1}{3}AM$

Kẻ $BP \bot AM$ ta có

$\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}$

$\Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \frac{\dfrac{1}{2}BP.GM}{\dfrac{1}{2}BP.AM} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}$(1)

Tương tự, kẻ $CN \bot AM$, ta có

$\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \frac{\dfrac{1}{2}CN.GM}{\dfrac{1}{2}CN.AM} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}$

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}$

b) Xét $\Delta BPM$ và $\Delta CNM$ có:

$\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}$

BM = CM ( M là trung điểm của BC)

$\widehat {PMB} = \widehat {CMN}$(2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM$(cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ BP = CN (cạnh tương ứng)

Mà ${S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG$, ${S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG$

$\Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}$

Ta có: $AG = \dfrac{2}{3}AM$

$\begin{array}{l}{S_{ABC}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} - \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}} \\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}$