Giải bài 9.47 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng: a) (HA.HD = HB.HE = HC.HF);
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA.HD=HB.HE=HC.HF;
b) ΔAFC∽ΔAEB và AF.AB=AE.AC;
c) ΔBDF∽ΔEDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
+ Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB
nên ^AEB=^BEC=^ADB=^ADC=^CFA=^CFB=900
Tam giác AHE và tam giác BHD có:
^AEH=^HDB=900 (cmt), ^AHE=^BHD (hai góc đối đỉnh). Do đó, ΔAHE∽ΔBHD(g−g)
Suy ra: AHBH=HEHD nên HA.HD=HB.HE (1)
Tam giác HBF và tam giác HCE có:
^HFB=^HEC=900 (cmt), ^BHF=^EHC (hai góc đối đỉnh). Do đó, ΔHBF∽ΔHCE(g−g)
Suy ra: HBHC=HFHE nên HB.HE=HC.HF (2)
Từ (1) và (2) ta có: HA.HD=HB.HE=HC.HF
b) Tam giác AFC và tam giác AEB có:
^AFC=^AEC=900,^BACchung
Do đó, ΔAFC∽ΔAEB(g−g)
Suy ra: AFAE=ACAB nên AF.AB=AE.AC
c) Vì HA.HD=HB.HE nên HAHE=HBHD
Tam giác HAB và tam giác HED có: HAHE=HBHD (cmt), ^AHB=^HED (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ΔAHB∽ΔEHD(c−g−c), suy ra: ^HAB=^HED
Mà ^HAB+^FBD=^HED+^DEC(=900)
Do đó, ^FBD=^DEC
Chứng minh tương tự ta có: ^BFD=^ECD
Tam giác BDF và tam giác EDC có: ^FBD=^DEC (cmt), ^BFD=^ECD (cmt). Do đó, ΔBDF∽ΔEDC(g−g)
Suy ra: ^BDF=^EDC
Mà ^BDF+^FDH=^EDC+^HDE(=900)
Do đó, ^FDH=^HDE
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF