Giải bài tập 1. 10 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) $y = - {x^2} + 4x + 3$; b) $y = {x^3} - 2{x^2} + 1$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$; c) $y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}$ trên $\left( {1; + \infty } \right)$; d) $y = \sqrt {4x - 2{x^2}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y =  - {x^2} + 4x + 3$, khi đó $y' =  - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Do đó, $\max f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) GTLN, GTNN của $y = {x^3} - 2{x^2} + 1$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = \frac{4}{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{ - 5}}{{27}}$, hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Ta có: $y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2$ (do $x \in \left( {1; + \infty } \right)$)

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

d) Tập xác định của hàm số là: $D = \left[ {0;2} \right]$

$y' = \frac{{\left( {4x - 2{x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{{4 - 4x}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{\sqrt {4x - 2{x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

$y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 0$.

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 2 \right) = 0$.