Giải bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^4} - 2{x^2} + 3); b) (y = x.{e^{ - x}}); c) (y = xln x); d) (y = sqrt {x - 1} + sqrt {3 - x} ).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y=x4−2x2+3;
b) y=x.e−x;
c) y=xlnx;
d) y=√x−1+√3−x.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử y=f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a;b] mà đạo hàm f′(x)=0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]:
1. Tìm các điểm x1,x2,...xn∈(a;b), tại đó f′(x)=0 hoặc không tồn tại.
2. Tính f(x1);f(x2);...;f(xn), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: M=max
Lời giải chi tiết
a) y = {x^4} - 2{x^2} + 3
y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.
y\left( 0 \right) = 3;y\left( 1 \right) = y\left( { - 1} \right) = 2
Do đó, \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = y\left( { - 1} \right) = 2, hàm số không có giá trị lớn nhất.
b) Ta có: y' = {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}},y' = 0 \Leftrightarrow {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1
Bảng biến thiên:
Do đó, \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = \frac{1}{e}, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
c) Tập xác định của hàm số là: D = \left( {0; + \infty } \right)
y' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1,y' = 0 \Leftrightarrow \ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e} (thỏa mãn)
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị lớn nhất, \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{{ - 1}}{e}
d) Tập xác định của hàm số là \left[ {1;3} \right].
y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {3 - x} \sqrt {x - 1} }} = 0
\Leftrightarrow \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow 3 - x = x - 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)
y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2
Do đó, \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2,\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( 3 \right) = \sqrt 2