Giải bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^4} - 2{x^2} + 3); b) (y = x.{e^{ - x}}); c) (y = xln x); d) (y = sqrt {x - 1} + sqrt {3 - x} ).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y=x4−2x2+3;
b) y=x.e−x;
c) y=xlnx;
d) y=√x−1+√3−x.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử y=f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a;b] mà đạo hàm f′(x)=0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]:
1. Tìm các điểm x1,x2,...xn∈(a;b), tại đó f′(x)=0 hoặc không tồn tại.
2. Tính f(x1);f(x2);...;f(xn), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: M=max[a;b]f(x),m=min[a;b]f(x)
Lời giải chi tiết
a) y=x4−2x2+3
y′=4x3−4x,y′=0⇔4x3−4x=0⇔[x=0x=±1
y(0)=3;y(1)=y(−1)=2
Do đó, min(−∞;+∞)y=y(1)=y(−1)=2, hàm số không có giá trị lớn nhất.
b) Ta có: y′=e−x−x.e−x,y′=0⇔e−x−x.e−x=0⇔e−x(1−x)=0⇔x=1
Bảng biến thiên:
Do đó, max(−∞;+∞)y=y(1)=1e, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
c) Tập xác định của hàm số là: D=(0;+∞)
y′=lnx+x.1x=lnx+1,y′=0⇔lnx+1=0⇔x=1e (thỏa mãn)
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị lớn nhất, min(0;+∞)y=y(1e)=−1e
d) Tập xác định của hàm số là [1;3].
y′=12√x−1−12√3−x,y′=0⇔12√x−1−12√3−x=0⇔√3−x−√x−12√3−x√x−1=0
⇔√3−x=√x−1⇔3−x=x−1⇔x=2(tm)
y(1)=√2;y(2)=2;y(3)=√2
Do đó, max[1;3]y=y(2)=2,min[1;3]y=y(1)=y(3)=√2