Giải bài tập 1. 35 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{{3x + 6}}{{2 - x}}$

b) $y = 2x + \frac{3}{{2 - x}}$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: $D = R\backslash \{ 2\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - 3$

Suy ra đường thẳng ${\rm{y}} =  - 3$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 6}}{{2 - x}} = \infty$

Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} = 2$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: ${y^\prime } = \frac{{12}}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0\forall x \in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x = 2$ và tiệm cận ngang $y =  - 3$

Giao với trục Oy tại điểm (0,3)

Giao với trục Ox tại điểm (-2,0)

b)

- Tập xác định: $D = R\backslash \{ 2\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) = \infty$$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) =  - \infty$

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + \frac{3}{{2 - x}}} \right) = \infty$

Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} = 2$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Khi $x \to  \pm \infty ,\frac{3}{{2 - x}} \to 0$nên đường thẳng $y = 2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: ${y^\prime } = 2 + \frac{3}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0\forall x \in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị

Giao điểm với trục Ox là $\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2};0} \right),\left( {\frac{{2 - \sqrt {10} }}{2};0} \right)$

Giao điểm với trục Oy là $\left( {0;\frac{3}{2}} \right)$