Giải bài tập 1. 37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là:

$P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}$

Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số $P(R) = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}$

Lấy đạo hàm của P theo R:

$$P'(R) = \frac{{dP}}{{dR}} = \frac{{{E^2}.{{(R + r)}^2} - {E^2}R.2(R + r)}}{{{{(R + r)}^4}}} = \frac{{{E^2}({R^2} + 2Rr + {r^2} - 2{R^2} - 2Rr)}}{{{{(R + r)}^4}}} = \frac{{{E^2}({r^2} - {R^2})}}{{{{(R + r)}^4}}}$$

Đặt P(R)=0 suy ra: ${r^2} - {R^2} = 0 \Leftrightarrow {R^2} = {r^2} \Rightarrow R = r$

Lấy đạo hàm cấp hai của P theo R:

$P''(R) = \frac{{ - 2{E^2}R.{{(R + r)}^4} - {E^2}({r^2} - {R^2}).4{{(R + r)}^3}}}{{{{(R + r)}^8}}} = \frac{{ - 2{E^2}{{(R + r)}^4}\left[ {R - 2(r - R)} \right]}}{{{{(R + r)}^8}}} = \frac{{ - 2{E^2}\left[ {R - 2(r - R)} \right]}}{{{{(R + r)}^4}}}$

Với R = r thì ta có:

$P''(r) = \frac{{ - 2{E^2}\left[ {r - 2(r - r)} \right]}}{{{{(r + r)}^4}}} = \frac{{ - 2{E^2}r}}{{{r^5}}} = \frac{{ - 2{E^2}}}{{{r^4}}} < 0$

Vì đạo hàm cấp hai tại R = r là âm, điều này xác nhận rằng R = r là một điểm cực đại.

Vậy công suất lớn nhất của điện trở ngoài khi R = r là: ${P_{\max }} = \frac{{{E^2}}}{{4r}}$