Giải bài tập 1 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$:

a) Có tâm $I\left( {7; - 3;0} \right)$, bán kính $R = 8$.

b) Có tâm $M\left( {3;1; - 4} \right)$ và đi qua điểm $N\left( {1;0;1} \right)$.

c) Có đường kính $AB$ với $A\left( {4;6;8} \right)$ và $B\left( {2;4;4} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {7; - 3;0} \right)$, bán kính $R = 8$ có phương trình là

${\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 64$

b) Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $M$ và đi qua $N$, nên $MN$ là một bán kính của $\left( S \right)$.

Ta có $MN = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {30}$.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 30$.

c) Mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB$, suy ra $\left( S \right)$ có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính bằng $\frac{{AB}}{2}$.

Ta có $A\left( {4;6;8} \right)$ và $B\left( {2;4;4} \right)$, suy ra $I\left( {3;5;6} \right)$.

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2} + {{\left( {8 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 6$, suy ra $R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 6$.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 6.$