Giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ đứng $OBC.O'B'C'$ có đáy là tam giác $OBC$ vuông tại $O$. Cho biết $B\left( {3;0;0} \right)$, $C\left( {0;1;0} \right)$, $O'\left( {0;0;2} \right)$. Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng $BO'$ và $B'C$.

b) hai mặt phẳng $\left( {O'BC} \right)$ và $\left( {OBC} \right)$.

c) đường thẳng $B'C$ và mặt phẳng $\left( {O'BC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có toạ độ các điểm $O\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {3;0;0} \right)$, $C\left( {0;1;0} \right)$, $O'\left( {0;0;2} \right)$. Suy ra $B'\left( {3;0;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BO'$ và $\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $B'C$. Suy ra:

$\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}$

Từ đó $\left( {BO',B'C} \right) \approx {68^o}15'$.

b) Mặt phẳng $\left( {O'BC} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)$. Suy ra một vectơ pháp tuyến của $\left( {O'BC} \right)$ là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BO'} } \right] = \left( {2;6;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {OBC} \right)$ có $OO' \bot \left( {OBC} \right)$ nên $\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( {OBC} \right)$.

Suy ra

$\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{7}$

Vậy $\left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) \approx {64^o}37'$.

c) Ta có $\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $B'C$.

Ta có $\vec n = \left( {2;6;3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {O'BC} \right)$. Suy ra

$\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}$

Vậy $\left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) \approx {76^o}45'$.