Giải bài tập 11 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ $Oxyz$. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2z + 1 = 0$ và $\left( {P'} \right):x + z + 7 = 0$.

a) Tính góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( {P'} \right)$.

b) Tính góc hợp bởi $\left( P \right)$ và $\left( {P'} \right)$ với mặt đất $\left( Q \right)$ có phương trình $z = 0$.

Lời giải chi tiết

a) Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\vec n = \left( {2;0;2} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của $\left( {P'} \right)$ là $\vec n' = \left( {1;0;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1.$

Suy ra $\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {0^o}$.

Cách khác: Do $\frac{2}{1} = \frac{2}{1}$ nên $\vec n$ và $\vec n'$ là hai vectơ cùng phương. Suy ra $\left( P \right)\parallel \left( {P'} \right)$. Từ đó $\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {0^o}$.

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt đất $\left( Q \right)$ là $\vec m = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec m} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Suy ra $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}$. Chứng minh tương tự, ta có $\left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}.$