Giải bài tập 14 trang 23 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$. Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

A = $\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2$

Lời giải chi tiết

Phương trình $2{x^2} - 7x + 6 = 0$ có $\Delta  = {( - 7)^2} - 4.2.6 = 1 > 0$ nên nó có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{7}{2}$;${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 3$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2\\ = {x_1}{x_2} + 2{x_1}^2 + 2{x_2}^2 + 4{x_1}{x_2} - {x_1}^2{x_2}^2\\ = {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - {x_1}^2{x_2}^2\\ = {x_1}{x_2} + 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = 3 + 2.{\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - {3^2}\\ = 3 + \frac{{49}}{2} - 9\\ = \frac{{37}}{2}\end{array}$