Giải bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 3}}) b) (y = frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}) c) (y = frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}})
Đề bài
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
a) y=x2+22x−3
b) y=2x2−3x−6x+2
c) y=2x2+9x+112x+5
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: lim
- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0
Lời giải chi tiết
a) Xét y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}
Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2} \right\}
Ta có:
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} = + \infty . \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} = - \infty .
Ta có:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.
Vậy x = 2 là tiệm cận đứng, y = \frac{1}{2}x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị.
b) Xét y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}
Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}
Ta có:\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} = + \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} = - \infty
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 7x - 6}}{{x + 2}} = \frac{{ - 7 - \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = - 7
Vậy đường thẳng x = -2 và y = 2x - 7 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
c) Xét y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}
Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}
Ta có:\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = + \infty . \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = - \infty .
y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}}.
Ta có:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là x = - \frac{5}{2}, tiệm cận xiên là y = x + 2.