Giải bài tập 3 trang 69 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác tam giác  ABC

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}};\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$.

Xét $\Delta$ADI và $\Delta$AFI có:

ID = IF = R;

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (chứng minh trên);

AI chung.

Suy ra $\Delta$ADI = $\Delta$AFI  (c – g – c).

Do đó, AD = AF (hai cạnh tương ứng) (1).

Chứng minh tương tự, ta được:

$\Delta$DBI = $\Delta$EIB  (c – g – c) suy ra BD = BE (hai cạnh tương ứng) (2).

$\Delta$FCI = $\Delta$ECI  (c – g – c) suy ra FC = EC (hai cạnh tương ứng) (3).

- Ta có: AB + AC – BC = AD + BD + AF + FC – BE – EC (4).

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:

AB + AC – BC = AD + BE + AD + EC – BE – EC = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a:

2AF = AB + AC – BC;

2BD = 2BE = AB + BC – AC;

2EC = 2FC = AC + BC – AB.