Giải bài tập 4. 1 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) $F\left( x \right) = x\ln x$ và $f\left( x \right) = 1 + \ln x$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$;

b) $F\left( x \right) = {e^{\sin x}}$ và $f\left( x \right) = {e^{\cos x}}$ trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $F'\left( x \right) = \left( {x\ln x} \right)' = \ln x + \frac{x}{x} = \ln x + 1$. Do đó, $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Ta có: $F'\left( x \right) = \left( {{e^{\sin x}}} \right)' = \cos x.{e^{\sin x}}$.

Hàm số F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ vì $F'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \ne 1 = f\left( 1 \right)$