Giải bài tập 5.7 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+3y−z=0,(Q):x−y−2z+1=0. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x+3y−z=0,(Q):x−y−2z+1=0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0, (β):A′x+B′y+C′z+D′=0 với hai vectơ pháp tuyến →n=(A;B;C),→n′=(A′;B′;C′) tương ứng. Khi đó, (α)⊥(β)⇔→n⊥→n′⇔AA′+BB′+CC′=0.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 là d(M,(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: →nP=(1;3;−1), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: →nQ=(1;−1;−2).
Ta có: →nP.→nQ=1.1+(−1).3+(−1).(−2)=0 nên →nP⊥→nQ. Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Điểm M thuộc trục Ox nên M(x;0;0).
Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d(M,(P))=d(M,(Q))
⇒|x|√12+32+(−1)2=|x+1|√12+(−1)2+(−2)2
⇒|x|√11=|x+1|√6⇒6x2=11(x+1)2⇒5x2+22x+11=0⇒[x=−11−√665x=−11+√665
Vậy M(−11+√665;0;0);M(−11−√665;0;0) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.